一.知识归纳:
1.集合的有关概念。
1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素
注意:①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?a和a?a,二者必居其一)、互异性(若a?a,b?a,则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件
2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法
3)集合的分类:有限集,无限集,空集。
4)常用数集:n,z,q,r,n_
2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1)子集:若对_∈a都有_∈b,则a b(或a b);
2)真子集:a b且存在_0∈b但_0 a;记为a b(或 ,且 )
3)交集:a∩b={_| _∈a且_∈b}
4)并集:a∪b={_| _∈a或_∈b}
5)补集:cua={_| _ a但_∈u}
注意:①? a,若a≠?,则? a ;
②若 , ,则 ;
③若 且 ,则a=b(等集)
3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:(1) 与 、?的区别;(2) 与 的区别;(3) 与 的区别。
4.有关子集的几个等价关系
①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;
④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。
5.交、并集运算的性质
①a∩a=a,a∩? = ?,a∩b=b∩a;②a∪a=a,a∪? =a,a∪b=b∪a;
③cu (a∪b)= cua∩cub,cu (a∩b)= cua∪cub;
6.有限子集的个数:设集合a的元素个数是n,则a有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。
二.例题讲解:
例1已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z},则m,n,p满足关系
a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m
分析一:从判断元素的共性与区别入手。
解答一:对于集合m:{_|_= ,m∈z};对于集合n:{_|_= ,n∈z}
对于集合p:{_|_= ,p∈z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以m n=p,故选b。
分析二:简单列举集合中的元素。
解答二:m={…, ,…},n={…, , , ,…},p={…, , ,…},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。
= ∈n, ∈n,∴m n,又 = m,∴m n,
= p,∴n p 又 ∈n,∴p n,故p=n,所以选b。
点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。
变式:设集合 , ,则( b )
a.m=n b.m n c.n m d.
解:
当 时,2k+1是奇数,k+2是整数,选b
例2定义集合a_b={_|_∈a且_ b},若a={1,3,5,7},b={2,3,5},则a_b的子集个数为
a)1 b)2 c)3 d)4
分析:确定集合a_b子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合a={a1,a2,…,an}有子集2n个来求解。
解答:∵a_b={_|_∈a且_ b}, ∴a_b={1,7},有两个元素,故a_b的子集共有22个。选d。
变式1:已知非空集合m {1,2,3,4,5},且若a∈m,则6?a∈m,那么集合m的个数为
a)5个 b)6个 c)7个 d)8个
变式2:已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.
解:由已知,集合中必须含有元素a,b.
集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
评析 本题集合a的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有 个 .
例3已知集合a={_|_2+px+q=0},b={_|_2?4_+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求实数p,q,r的值。
解答:∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴b={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a
∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程_2+px+q=0的两根为-2和1,
∴ ∴
变式:已知集合a={_|_2+b_+c=0},b={_|_2+m_+6=0},且a∩b={2},a∪b=b,求实数b,c,m的值.
解:∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴b={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴
又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
例4已知集合a={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合b满足:a∪b={_|_>-2},且a∩b={_|1
分析:先化简集合a,然后由a∪b和a∩b分别确定数轴上哪些元素属于b,哪些元素不属于b。
解答:a={_|-21}。由a∩b={_|1-2}可知[-1,1] b,而(-∞,-2)∩b=ф。
综合以上各式有b={_|-1≤_≤5}
变式1:若a={_|_3+2_2-8_>0},b={_|_2+a_+b≤0},已知a∪b={_|_>-4},a∩b=φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)
点评:在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。
变式2:设m={_|_2-2_-3=0},n={_|a_-1=0},若m∩n=n,求所有满足条件的a的集合。
解答:m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m
①当 时,a_-1=0无解,∴a=0 ②
综①②得:所求集合为{-1,0, }
例5已知集合 ,函数y=log2(a_2-2_+2)的定义域为q,若p∩q≠φ,求实数a的取值范围。
分析:先将原问题转化为不等式a_2-2_+2>0在 有解,再利用参数分离求解。
解答:(1)若 , 在 内有有解
令 当 时,
所以a>-4,所以a的取值范围是
变式:若关于_的方程 有实根,求实数a的取值范围。
解答:
点评:解决含参数问题的题目,一般要进行分类讨论,但并不是所有的问题都要讨论,怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。 三.随堂演练
选择题
1. 下列八个关系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}
⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正确的个数
(a)4 (b)5 (c)6 (d)7
2.集合{1,2,3}的真子集共有
(a)5个 (b)6个 (c)7个 (d)8个
3.集合a={_ } b={ } c={ }又 则有
(a)(a+b) a (b) (a+b) b (c)(a+b) c (d) (a+b) a、b、c任一个
4.设a、b是全集u的两个子集,且a b,则下列式子成立的是
(a)cua cub (b)cua cub=u
(c)a cub= (d)cua b=
5.已知集合a={ }, b={ }则a =
(a)r (b){ }
(c){ } (d){ }
6.下列语句:(1)0与{0}表示同一个集合; (2)由1,2,3组成的集合可表示为
{1,2,3}或{3,2,1}; (3)方程(_-1)2(_-2)2=0的所有解的集合可表示为 {1,1,2}; (4)集合{ }是有限集,正确的是
(a)只有(1)和(4) (b)只有(2)和(3)
(c)只有(2) (d)以上语句都不对
7.设s、t是两个非空集合,且s t,t s,令_=s 那么s∪_=
(a)_ (b)t (c)φ (d)s
8设一元二次方程a_2+b_+c=0(a<0)的根的判别式 ,则不等式a_2+b_+c 0的解集为
(a)r (b) (c){ } (d){ }
填空题
9.在直角坐标系中,坐标轴上的点的集合可表示为
10.若a={1,4,_},b={1,_2}且a b=b,则_=
11.若a={_ } b={_ },全集u=r,则a =
12.若方程8_2+(k+1)_+k-7=0有两个负根,则k的取值范围是
13设集合a={ },b={_ },且a b,则实数k的取值范围是。
14.设全集u={_ 为小于20的非负奇数},若a (cub)={3,7,15},(cua) b={13,17,19},又(cua) (cub)= ,则a b=
解答题
15(8分)已知集合a={a2,a+1,-3},b={a-3,2a-1,a2+1}, 若a b={-3},求实数a。
16(12分)设a= , b= ,
其中_ r,如果a b=b,求实数a的取值范围。
四.习题答案
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
c c b c b c d d
填空题
9.{(_,y) } 10.0, 11.{_ ,或_ 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}
解答题
15.a=-1
16.提示:a={0,-4},又a b=b,所以b a
(ⅰ)b= 时, 4(a+1)2-4(a2-1)<0,得a<-1
(ⅱ)b={0}或b={-4}时, 0 得a=-1
(ⅲ)b={0,-4}, 解得a=1
综上所述实数a=1 或a -1
高一数学集合知识点总结
一.知识归纳:
1.集合的有关概念。
1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素
注意:①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?a和a?a,二者必居其一)、互异性(若a?a,b?a,则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件
2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法
3)集合的分类:有限集,无限集,空集。
4)常用数集:n,z,q,r,n_
2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1)子集:若对_∈a都有_∈b,则a b(或a b);
2)真子集:a b且存在_0∈b但_0 a;记为a b(或 ,且 )
3)交集:a∩b={_| _∈a且_∈b}
4)并集:a∪b={_| _∈a或_∈b}
5)补集:cua={_| _ a但_∈u}
注意:①? a,若a≠?,则? a ;
②若 , ,则 ;
③若 且 ,则a=b(等集)
3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:(1) 与 、?的区别;(2) 与 的区别;(3) 与 的区别。
4.有关子集的几个等价关系
①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;
④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。
5.交、并集运算的性质
①a∩a=a,a∩? = ?,a∩b=b∩a;②a∪a=a,a∪? =a,a∪b=b∪a;
③cu (a∪b)= cua∩cub,cu (a∩b)= cua∪cub;
6.有限子集的个数:设集合a的元素个数是n,则a有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。
二.例题讲解:
例1已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z},则m,n,p满足关系
a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m
分析一:从判断元素的共性与区别入手。
解答一:对于集合m:{_|_= ,m∈z};对于集合n:{_|_= ,n∈z}
对于集合p:{_|_= ,p∈z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以m n=p,故选b。
分析二:简单列举集合中的元素。
解答二:m={…, ,…},n={…, , , ,…},p={…, , ,…},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。
= ∈n, ∈n,∴m n,又 = m,∴m n,
= p,∴n p 又 ∈n,∴p n,故p=n,所以选b。
点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。
变式:设集合 , ,则( b )
a.m=n b.m n c.n m d.
解:
当 时,2k+1是奇数,k+2是整数,选b
一.知识归纳:
1.集合的有关概念。
1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素
注意:①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?a和a?a,二者必居其一)、互异性(若a?a,b?a,则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件
2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法
3)集合的分类:有限集,无限集,空集。
4)常用数集:n,z,q,r,n_
2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1)子集:若对_∈a都有_∈b,则a b(或a b);
2)真子集:a b且存在_0∈b但_0 a;记为a b(或,且 )
3)交集:a∩b={_| _∈a且_∈b}
4)并集:a∪b={_| _∈a或_∈b}
5)补集:cua={_| _ a但_∈u}
注意:①? a,若a≠?,则? a ;
②若, ,则 ;
③若且 ,则a=b(等集)
3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:(1) 与、?的区别;(2) 与 的区别;(3) 与 的区别。
4.有关子集的几个等价关系
①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;
④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。
5.交、并集运算的性质
①a∩a=a,a∩? = ?,a∩b=b∩a;②a∪a=a,a∪? =a,a∪b=b∪a;
③cu (a∪b)= cua∩cub,cu (a∩b)= cua∪cub;
6.有限子集的个数:设集合a的元素个数是n,则a有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。
二.例题讲解:
例1已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z},则m,n,p满足关系
a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m
分析一:从判断元素的共性与区别入手。
解答一:对于集合m:{_|_= ,m∈z};对于集合n:{_|_= ,n∈z}
对于集合p:{_|_= ,p∈z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以m n=p,故选b。
分析二:简单列举集合中的元素。
解答二:m={…, ,…},n={…, , , ,…},p={…, , ,…},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。
= ∈n, ∈n,∴m n,又 = m,∴m n,
= p,∴n p 又 ∈n,∴p n,故p=n,所以选b。
点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。
变式:设集合, ,则( b )
a.m=n b.m n c.n m d.
解:
当时,2k+1是奇数,k+2是整数,选b
例2定义集合a_b={_|_∈a且_ b},若a={1,3,5,7},b={2,3,5},则a_b的子集个数为
a)1 b)2 c)3 d)4
分析:确定集合a_b子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合a={a1,a2,…,an}有子集2n个来求解。
解答:∵a_b={_|_∈a且_ b}, ∴a_b={1,7},有两个元素,故a_b的子集共有22个。选d。
变式1:已知非空集合m {1,2,3,4,5},且若a∈m,则6?a∈m,那么集合m的个数为
a)5个 b)6个 c)7个 d)8个
变式2:已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.
解:由已知,集合中必须含有元素a,b.
集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
评析本题集合a的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有个 .
例3已知集合a={_|_2+px+q=0},b={_|_2?4_+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求实数p,q,r的值。
解答:∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴b={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a
∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程_2+px+q=0的两根为-2和1,
∴ ∴
变式:已知集合a={_|_2+b_+c=0},b={_|_2+m_+6=0},且a∩b={2},a∪b=b,求实数b,c,m的值.
解:∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴b={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴
又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
例4已知集合a={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合b满足:a∪b={_|_>-2},且a∩b={_|1
分析:先化简集合a,然后由a∪b和a∩b分别确定数轴上哪些元素属于b,哪些元素不属于b。
解答:a={_|-21}。由a∩b={_|1-2}可知[-1,1] b,而(-∞,-2)∩b=ф。
综合以上各式有b={_|-1≤_≤5}
变式1:若a={_|_3+2_2-8_>0},b={_|_2+a_+b≤0},已知a∪b={_|_>-4},a∩b=φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)
点评:在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。
变式2:设m={_|_2-2_-3=0},n={_|a_-1=0},若m∩n=n,求所有满足条件的a的集合。
解答:m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m
①当时,a_-1=0无解,∴a=0 ②
综①②得:所求集合为{-1,0, }
例5已知集合 ,函数y=log2(a_2-2_+2)的定义域为q,若p∩q≠φ,求实数a的取值范围。
分析:先将原问题转化为不等式a_2-2_+2>0在 有解,再利用参数分离求解。
解答:(1)若 , 在 内有有解
令当 时,
所以a>-4,所以a的取值范围是
变式:若关于_的方程 有实根,求实数a的取值范围。
解答:
点评:解决含参数问题的题目,一般要进行分类讨论,但并不是所有的问题都要讨论,怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。
一.知识归纳:
1.集合的有关概念。
1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素
注意:①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?a和a?a,二者必居其一)、互异性(若a?a,b?a,则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件
2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法
3)集合的分类:有限集,无限集,空集。
4)常用数集:n,z,q,r,n_
2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1)子集:若对_∈a都有_∈b,则a b(或a b);
2)真子集:a b且存在_0∈b但_0 a;记为a b(或 ,且 )
3)交集:a∩b={_| _∈a且_∈b}
4)并集:a∪b={_| _∈a或_∈b}
5)补集:cua={_| _ a但_∈u}
注意:①? a,若a≠?,则? a ;
②若 , ,则 ;
③若 且 ,则a=b(等集)
3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:(1) 与 、?的区别;(2) 与 的区别;(3) 与 的区别。
4.有关子集的几个等价关系
①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;
④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。
5.交、并集运算的性质
①a∩a=a,a∩? = ?,a∩b=b∩a;②a∪a=a,a∪? =a,a∪b=b∪a;
③cu (a∪b)= cua∩cub,cu (a∩b)= cua∪cub;
6.有限子集的个数:设集合a的元素个数是n,则a有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。
二.例题讲解:
例1已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z},则m,n,p满足关系
a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m
分析一:从判断元素的共性与区别入手。
解答一:对于集合m:{_|_= ,m∈z};对于集合n:{_|_= ,n∈z}
对于集合p:{_|_= ,p∈z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以m n=p,故选b。
分析二:简单列举集合中的元素。
解答二:m={…, ,…},n={…, , , ,…},p={…, , ,…},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。
= ∈n, ∈n,∴m n,又 = m,∴m n,
= p,∴n p 又 ∈n,∴p n,故p=n,所以选b。
点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。
变式:设集合 , ,则( b )
a.m=n b.m n c.n m d.
解:
当 时,2k+1是奇数,k+2是整数,选b
例2定义集合a_b={_|_∈a且_ b},若a={1,3,5,7},b={2,3,5},则a_b的子集个数为
a)1 b)2 c)3 d)4
分析:确定集合a_b子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合a={a1,a2,…,an}有子集2n个来求解。
解答:∵a_b={_|_∈a且_ b}, ∴a_b={1,7},有两个元素,故a_b的子集共有22个。选d。
变式1:已知非空集合m {1,2,3,4,5},且若a∈m,则6?a∈m,那么集合m的个数为
a)5个 b)6个 c)7个 d)8个
变式2:已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.
解:由已知,集合中必须含有元素a,b.
集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
评析 本题集合a的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有 个 .
例3已知集合a={_|_2+px+q=0},b={_|_2?4_+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求实数p,q,r的值。
解答:∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴b={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a
∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程_2+px+q=0的两根为-2和1,
∴ ∴
变式:已知集合a={_|_2+b_+c=0},b={_|_2+m_+6=0},且a∩b={2},a∪b=b,求实数b,c,m的值.
解:∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴b={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴
又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
例4已知集合a={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合b满足:a∪b={_|_>-2},且a∩b={_|1
分析:先化简集合a,然后由a∪b和a∩b分别确定数轴上哪些元素属于b,哪些元素不属于b。
解答:a={_|-21}。由a∩b={_|1-2}可知[-1,1] b,而(-∞,-2)∩b=ф。
综合以上各式有b={_|-1≤_≤5}
变式1:若a={_|_3+2_2-8_>0},b={_|_2+a_+b≤0},已知a∪b={_|_>-4},a∩b=φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)
点评:在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。
变式2:设m={_|_2-2_-3=0},n={_|a_-1=0},若m∩n=n,求所有满足条件的a的集合。
解答:m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m
①当 时,a_-1=0无解,∴a=0 ②
综①②得:所求集合为{-1,0, }
例5已知集合 ,函数y=log2(a_2-2_+2)的定义域为q,若p∩q≠φ,求实数a的取值范围。
分析:先将原问题转化为不等式a_2-2_+2>0在 有解,再利用参数分离求解。
解答:(1)若 , 在 内有有解
令 当 时,
所以a>-4,所以a的取值范围是
变式:若关于_的方程 有实根,求实数a的取值范围。
解答:
点评:解决含参数问题的题目,一般要进行分类讨论,但并不是所有的问题都要讨论,怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。
三.随堂演练
选择题
1. 下列八个关系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}
⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正确的个数
(a)4 (b)5 (c)6 (d)7
2.集合{1,2,3}的真子集共有
(a)5个 (b)6个 (c)7个 (d)8个
3.集合a={_ } b={ } c={ }又 则有
(a)(a+b) a (b) (a+b) b (c)(a+b) c (d) (a+b) a、b、c任一个
4.设a、b是全集u的两个子集,且a b,则下列式子成立的是
(a)cua cub (b)cua cub=u
(c)a cub= (d)cua b=
5.已知集合a={ }, b={ }则a =
(a)r (b){ }
(c){ } (d){ }
6.下列语句:(1)0与{0}表示同一个集合; (2)由1,2,3组成的集合可表示为
{1,2,3}或{3,2,1}; (3)方程(_-1)2(_-2)2=0的所有解的集合可表示为 {1,1,2}; (4)集合{ }是有限集,正确的是
(a)只有(1)和(4) (b)只有(2)和(3)
(c)只有(2) (d)以上语句都不对
7.设s、t是两个非空集合,且s t,t s,令_=s 那么s∪_=
(a)_ (b)t (c)φ (d)s
8设一元二次方程a_2+b_+c=0(a<0)的根的判别式 ,则不等式a_2+b_+c 0的解集为
(a)r (b) (c){ } (d){ }
填空题
9.在直角坐标系中,坐标轴上的点的集合可表示为
10.若a={1,4,_},b={1,_2}且a b=b,则_=
11.若a={_ } b={_ },全集u=r,则a =
12.若方程8_2+(k+1)_+k-7=0有两个负根,则k的取值范围是
13设集合a={ },b={_ },且a b,则实数k的取值范围是。
14.设全集u={_ 为小于20的非负奇数},若a (cub)={3,7,15},(cua) b={13,17,19},又(cua) (cub)= ,则a b=
解答题
15(8分)已知集合a={a2,a+1,-3},b={a-3,2a-1,a2+1}, 若a b={-3},求实数a。
16(12分)设a= , b= ,
其中_ r,如果a b=b,求实数a的取值范围。
四.习题答案
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
c c b c b c d d
填空题
9.{(_,y) } 10.0, 11.{_ ,或_ 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}
解答题
15.a=-1
16.提示:a={0,-4},又a b=b,所以b a
(ⅰ)b= 时, 4(a+1)2-4(a2-1)<0,得a<-1
(ⅱ)b={0}或b={-4}时, 0 得a=-1
(ⅲ)b={0,-4}, 解得a=1
综上所述实数a=1 或a -1
一.知识归纳:
1.集合的有关概念。
1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素
注意:①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?a和a?a,二者必居其一)、互异性(若a?a,b?a,则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件
2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法
3)集合的分类:有限集,无限集,空集。
4)常用数集:n,z,q,r,n_
2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1)子集:若对_∈a都有_∈b,则a b(或a b);
2)真子集:a b且存在_0∈b但_0 a;记为a b(或 ,且 )
3)交集:a∩b={_| _∈a且_∈b}
4)并集:a∪b={_| _∈a或_∈b}
5)补集:cua={_| _ a但_∈u}
注意:①? a,若a≠?,则? a ;
②若 , ,则 ;
③若 且 ,则a=b(等集)
3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:(1) 与 、?的区别;(2) 与 的区别;(3) 与 的区别。
4.有关子集的几个等价关系
①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;
④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。
5.交、并集运算的性质
①a∩a=a,a∩? = ?,a∩b=b∩a;②a∪a=a,a∪? =a,a∪b=b∪a;
③cu (a∪b)= cua∩cub,cu (a∩b)= cua∪cub;
6.有限子集的个数:设集合a的元素个数是n,则a有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。
二.例题讲解:
【例1】已知集合m={_|_=m+ ,m∈z},n={_|_= ,n∈z},p={_|_= ,p∈z},则m,n,p满足关系
a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m
分析一:从判断元素的共性与区别入手。
解答一:对于集合m:{_|_= ,m∈z};对于集合n:{_|_= ,n∈z}
对于集合p:{_|_= ,p∈z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以m n=p,故选b。
分析二:简单列举集合中的元素。
解答二:m={…, ,…},n={…, , , ,…},p={…, , ,…},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。
= ∈n, ∈n,∴m n,又 = m,∴m n,
= p,∴n p 又 ∈n,∴p n,故p=n,所以选b。
点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。
变式:设集合 , ,则( b )
a.m=n b.m n c.n m d.
解:
当 时,2k+1是奇数,k+2是整数,选b
【例2】定义集合a_b={_|_∈a且_ b},若a={1,3,5,7},b={2,3,5},则a_b的子集个数为
a)1 b)2 c)3 d)4
分析:确定集合a_b子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合a={a1,a2,…,an}有子集2n个来求解。
解答:∵a_b={_|_∈a且_ b}, ∴a_b={1,7},有两个元素,故a_b的子集共有22个。选d。
变式1:已知非空集合m {1,2,3,4,5},且若a∈m,则6?a∈m,那么集合m的个数为
a)5个 b)6个 c)7个 d)8个
变式2:已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.
解:由已知,集合中必须含有元素a,b.
集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
评析 本题集合a的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有 个 .
【例3】已知集合a={_|_2+px+q=0},b={_|_2?4_+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求实数p,q,r的值。
解答:∵a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴b={_|_2?4_+r=0}={1,3}, ∵a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a
∵a∩b={1} ∴1∈a ∴方程_2+px+q=0的两根为-2和1,
∴ ∴
变式:已知集合a={_|_2+b_+c=0},b={_|_2+m_+6=0},且a∩b={2},a∪b=b,求实数b,c,m的值.
解:∵a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴b={_|_2-5_+6=0}={2,3} ∵a∪b=b ∴
又 ∵a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合a={_|(_-1)(_+1)(_+2)>0},集合b满足:a∪b={_|_>-2},且a∩b={_|1
分析:先化简集合a,然后由a∪b和a∩b分别确定数轴上哪些元素属于b,哪些元素不属于b。
解答:a={_|-21}。由a∩b={_|1-2}可知[-1,1] b,而(-∞,-2)∩b=ф。
综合以上各式有b={_|-1≤_≤5}
变式1:若a={_|_3+2_2-8_>0},b={_|_2+a_+b≤0},已知a∪b={_|_>-4},a∩b=φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)
点评:在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。
变式2:设m={_|_2-2_-3=0},n={_|a_-1=0},若m∩n=n,求所有满足条件的a的集合。
解答:m={-1,3} , ∵m∩n=n, ∴n m
①当 时,a_-1=0无解,∴a=0 ②
综①②得:所求集合为{-1,0, }
【例5】已知集合 ,函数y=log2(a_2-2_+2)的定义域为q,若p∩q≠φ,求实数a的取值范围。
分析:先将原问题转化为不等式a_2-2_+2>0在 有解,再利用参数分离求解。
解答:(1)若 , 在 内有有解
令 当 时,
所以a>-4,所以a的取值范围是
变式:若关于_的方程 有实根,求实数a的取值范围。
解答:
点评:解决含参数问题的题目,一般要进行分类讨论,但并不是所有的问题都要讨论,怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。
三.随堂演练
选择题
1. 下列八个关系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}
⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正确的个数
(a)4 (b)5 (c)6 (d)7
2.集合{1,2,3}的真子集共有
(a)5个 (b)6个 (c)7个 (d)8个
3.集合a={_ } b={ } c={ }又 则有
(a)(a+b) a (b) (a+b) b (c)(a+b) c (d) (a+b) a、b、c任一个
4.设a、b是全集u的两个子集,且a b,则下列式子成立的是
(a)cua cub (b)cua cub=u
(c)a cub= (d)cua b=
5.已知集合a={ }, b={ }则a =
(a)r (b){ }
(c){ } (d){ }
6.下列语句:(1)0与{0}表示同一个集合; (2)由1,2,3组成的集合可表示为
{1,2,3}或{3,2,1}; (3)方程(_-1)2(_-2)2=0的所有解的集合可表示为 {1,1,2}; (4)集合{ }是有限集,正确的是
(a)只有(1)和(4) (b)只有(2)和(3)
(c)只有(2) (d)以上语句都不对
7.设s、t是两个非空集合,且s t,t s,令_=s 那么s∪_=
(a)_ (b)t (c)φ (d)s
8设一元二次方程a_2+b_+c=0(a<0)的根的判别式 ,则不等式a_2+b_+c 0的解集为
(a)r (b) (c){ } (d){ }
填空题
9.在直角坐标系中,坐标轴上的点的集合可表示为
10.若a={1,4,_},b={1,_2}且a b=b,则_=
11.若a={_ } b={_ },全集u=r,则a =
12.若方程8_2+(k+1)_+k-7=0有两个负根,则k的取值范围是
13设集合a={ },b={_ },且a b,则实数k的取值范围是。
14.设全集u={_ 为小于20的非负奇数},若a (cub)={3,7,15},(cua) b={13,17,19},又(cua) (cub)= ,则a b=
解答题
15(8分)已知集合a={a2,a+1,-3},b={a-3,2a-1,a2+1}, 若a b={-3},求实数a。
16(12分)设a= , b= ,
其中_ r,如果a b=b,求实数a的取值范围。
四.习题答案
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8
c c b c b c d d
填空题
9.{(_,y) } 10.0, 11.{_ ,或_ 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}
解答题
15.a=-1
16.提示:a={0,-4},又a b=b,所以b a
(ⅰ)b= 时, 4(a+1)2-4(a2-1)<0,得a<-1
(ⅱ)b={0}或b={-4}时, 0 得a=-1
(ⅲ)b={0,-4}, 解得a=1
综上所述实数a=1 或a -1
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