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二次函数知识点总结(六篇)

发布时间:2023-03-18 热度:27

二次函数知识点总结

【第1篇 初中数学二次函数知识点总结

I.定义与定义表达式

一般地,自变量_和因变量y之间存在如下关系:y=a_^2+b_+c

(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为_的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式:y=a_^2+b_+c(a,b,c为常数,a≠0)

顶点式:y=a(_-h)^2+k [抛物线的顶点P(h,k)]

交点式:y=a(_-_?)(_-_ ?) [仅限于与_轴有交点A(_? ,0)和 B(_?,0)的抛物线]

注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:

h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a _?,_?=(-b±√b^2-4ac)/2a

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=_^2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 _ = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线_=0)

2.抛物线有一个顶点P,坐标为:P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在_轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;

当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0,c)

6.抛物线与_轴交点个数

Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与_轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与_轴有1个交点。

Δ= b^2-4ac<0时,抛物线与_轴没有交点。X的取值是虚数(_= -b±√b^2-4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)

V.二次函数与一元二次方程

特别地,二次函数(以下称函数)y=a_^2+b_+c,

当y=0时,二次函数为关于_的一元二次方程(以下称方程),即a_^2+b_+c=0

此时,函数图像与_轴有无交点即方程有无实数根。函数与_轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=a_^2,y=a(_-h)^2,y=a(_-h)^2 +k,y=a_^2+b_+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴:

当h>0时,y=a(_-h)^2的图象可由抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位得到,

当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.

当h>0,k>0时,将抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(_-h)^2 +k的图象;

当h>0,k<0时,将抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象;

当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象;

当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象;

因此,研究抛物线 y=a_^2+b_+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(_-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

2.抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线_=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).

3.抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0),若a>0,当_ ≤ -b/2a时,y随_的增大而减小;当_ ≥ -b/2a时,y随_的增大而增大.若a<0,当_ ≤ -b/2a时,y随_的增大而增大;当_ ≥ -b/2a时,y随_的增大而减小.

4.抛物线y=a_^2+b_+c的图象与坐标轴的交点:

(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);

(2)当△=b^2-4ac>0,图象与_轴交于两点A(_?,0)和B(_?,0),其中的_1,_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0

(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|_?-_?|

当△=0.图象与_轴只有一个交点;

当△<0.图象与_轴没有交点.当a>0时,图象落在_轴的上方,_为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在_轴的下方,_为任何实数时,都有y<0.

5.抛物线y=a_^2+b_+c的最值:如果a>0(a<0),则当_= -b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值

6.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知_、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:

y=a_^2+b_+c(a≠0).

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(_-h)^2+k(a≠0).

(3)当题给条件为已知图象与_轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(_-_?)(_-_?)(a≠0).

7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.

【第2篇 高中二次函数知识点总结

高中二次函数知识点总结

数学的学习是必要的,为了帮助大家更好的学习数学,下面是高中二次函数知识点总结,欢迎查阅!

一、二次函数概念:

1.二次函数的概念:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.

2. 二次函数的结构特征:

⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2.

⑵ 是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式:的性质:

a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

向上轴时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.

向下轴时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.

2. 的性质:

上加下减。

的`符号开口方向顶点坐标对称轴性质

向上轴时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.

向下轴时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.

3. 的性质:

左加右减。

的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

向上_=h时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.

向下_=h时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.

4. 的性质:

的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

向上_=h时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.

向下_=h时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有最大值.

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤:

方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;

⑵ 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:

2. 平移规律

在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.

概括成八个字“左加右减,上加下减”.

方法二:

⑴沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成

(或)

⑵沿轴平移:向左(右)平移个单位,变成(或)

四、二次函数与的比较

从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中.

五、二次函数图象的画法

五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).

画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.

六、二次函数的性质

1. 当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为.

当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,有最小值.

【第3篇 高一数学二次函数知识点总结

高一数学二次函数知识点总结

i.定义与定义表达式

一般地,自变量_和因变量y之间存在如下关系:

y=a_^2+b_+c

(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>;0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,iai还可以决定开口大小,iai越大开口就越小,iai越小开口就越大.)

则称y为_的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

ii.二次函数的三种表达式

一般式:y=a_^2+b_+c(a,b,c为常数,a≠0)

顶点式:y=a(_-h)^2+k[抛物线的顶点p(h,k)]

交点式:y=a(_-_?)(_-_?)[仅限于与_轴有交点a(_?,0)和b(_?,0)的抛物线]

注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:

h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4a_?,_?=(-b±√b^2-4ac)/2a

iii.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=_^2的图像,

可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。

iv.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

_=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点p。

特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线_=0)

2.抛物线有一个顶点p,坐标为

p(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

当-b/2a=0时,p在y轴上;当δ=b^2-4ac=0时,p在_轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>;0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。

a越大,则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>;0),对称轴在y轴左;

当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0,c)

6.抛物线与_轴交点个数

δ=b^2-4ac>;0时,抛物线与_轴有2个交点。

δ=b^2-4ac=0时,抛物线与_轴有1个交点。

δ=b^2-4ac<0时,抛物线与_轴没有交点。_的取值是虚数(_=-b±√b^2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)

v.二次函数与一元二次方程

特别地,二次函数(以下称函数)y=a_^2+b_+c,

当y=0时,二次函数为关于_的一元二次方程(以下称方程),

即a_^2+b_+c=0

此时,函数图像与_轴有无交点即方程有无实数根。

函数与_轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=a_^2,y=a(_-h)^2,y=a(_-h)^2+k,y=a_^2+b_+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:

解析式

顶点坐标

对称轴

y=a_^2

(0,0)

_=0

y=a(_-h)^2

(h,0)

_=h

y=a(_-h)^2+k

(h,k)

_=h

y=a_^2+b_+c

(-b/2a,[4ac-b^2]/4a)

_=-b/2a

当h>;0时,y=a(_-h)^2的图象可由抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位得到,

当h<0时,则向左平行移动h个单位得到.

当h>;0,k>;0时,将抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(_-h)^2+k的图象;

当h>;0,k<0时,将抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位,再向下移动k个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象;

当h<0,k>;0时,将抛物线向左平行移动h个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象;

当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动h个单位,再向下移动k个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象;

因此,研究抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(_-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

2.抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0)的图象:当a>;0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线_=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).

3.抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0),若a>;0,当_≤-b/2a时,y随_的增大而减小;当_≥-b/2a时,y随_的增大而增大.若a<0,当_≤-b/2a时,y随_的.增大而增大;当_≥-b/2a时,y随_的增大而减小.

4.抛物线y=a_^2+b_+c的图象与坐标轴的交点:

(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);

(2)当△=b^2-4ac>;0,图象与_轴交于两点a(_?,0)和b(_?,0),其中的_1,_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0

(a≠0)的两根.这两点间的距离ab=_?-_?

当△=0.图象与_轴只有一个交点;

当△<0.图象与_轴没有交点.当a>;0时,图象落在_轴的上方,_为任何实数时,都有y>;0;当a<0时,图象落在_轴的下方,_为任何实数时,都有y<0.

5.抛物线y=a_^2+b_+c的最值:如果a>;0(a<0),则当_=-b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.

6.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知_、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:

y=a_^2+b_+c(a≠0).

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(_-h)^2+k(a≠0).

(3)当题给条件为已知图象与_轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(_-_?)(_-_?)(a≠0).

7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.

【第4篇 二次函数知识点总结

二次函数知识点总结

二次函数及其图像

二次函数(quadraticfunction)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(_)=a_^2b_c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般的,自变量_和因变量y之间存在如下关系:

一般式

y=a_∧2;b_c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,-(4ac-b∧2)/4a);

顶点式

y=a(_m)∧2k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(_-h)∧2k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(-m,k)对称轴为_=-m,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=a_∧2的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;

交点式

y=a(_-_1)(_-_2)[仅限于与_轴有交点a(_1,0)和b(_2,0)的抛物线];

重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>;0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)

y=(y3(_-_1)(_-_2))/((_3-_1)(_3-_2)(y2(_-_1)(_-_3))/((_2-_1)(_2-_3)(y1(_-_2)(_-_3))/((_1-_2)(_1-_3)。由此可引导出交点式的系数a=y1/(_1__2)(y1为截距)

求根公式

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

_是自变量,y是_的二次函数

_1,_2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a

(即一元二次方程求根公式)

求根的方法还有因式分解法和配方法

在平面直角坐标系中作出二次函数y=2_的平方的图像,

可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

不同的二次函数图像

如果所画图形准确无误,那么二次函数将是由一般式平移得到的。

注意:草图要有1本身图像,旁边注明函数。

2画出对称轴,并注明_=什么

3与_轴交点坐标,与y轴交点坐标,顶点坐标。抛物线的性质

轴对称

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线_=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点p。

特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线_=0)

顶点

2.抛物线有一个顶点p,坐标为p(-b/2a,4ac-b^2;)/4a)

当-b/2a=0时,p在y轴上;当δ=b^2;-4ac=0时,p在_轴上。

开口

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>;0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。

|a|越大,则抛物线的开口越小。

决定对称轴位置的'因素

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>;0),对称轴在y轴左;因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同号

当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是-b 2a=''>;0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号

可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>;0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。

事实上,b有其自身的几何意义:抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

决定抛物线与y轴交点的因素

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0,c)

抛物线与_轴交点个数

6.抛物线与_轴交点个数

δ=b^2-4ac>;0时,抛物线与_轴有2个交点。

δ=b^2-4ac=0时,抛物线与_轴有1个交点。

δ=b^2-4ac<0时,抛物线与_轴没有交点。_的取值是虚数(_=-b±√b^2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)

当a>;0时,函数在_=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a;在{_|_<-b/2a}上是减函数,在

{_|_>;-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变

当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=a_^2c(a≠0)

特殊值的形式

7.特殊值的形式

①当_=1时y=abc

②当_=-1时y=a-bc

③当_=2时y=4a2bc

④当_=-2时y=4a-2bc

【第5篇 初中奥数二次函数知识点总结

一、二次函数概念:

1.二次函数的概念:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.

2. 二次函数的结构特征:

⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的次数是2.

⑵ 是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式:的性质:

a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

向上轴时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.

向下轴时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有值.

2. 的性质:

上加下减。

的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

向上轴时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.

向下轴时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有值.

3. 的性质:

左加右减。

的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

向上_=h时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.

向下_=h时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有值.

4. 的性质:

的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

向上_=h时,随的增大而增大;时,随的增大而减小;时,有最小值.

向下_=h时,随的增大而减小;时,随的增大而增大;时,有值.

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤:

方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;

⑵ 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:

2. 平移规律

在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.

概括成八个字“左加右减,上加下减”.

方法二:

⑴沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成

(或)

⑵沿轴平移:向左(右)平移个单位,变成(或)

四、二次函数与的比较

从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中.

五、二次函数图象的画法

五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).

画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.

六、二次函数的性质

1. 当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为.

当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,有最小值.

【第6篇 中考数学二次函数知识点总结

导语有一个现象是普遍存在的,就是“学的越多感觉不会的越多,背的越多忘的越快”,这个问题困扰着很多考研党。很多时候死记硬背并不是的方法,需要找到正确的思路,灵活记忆。为同学们提供中考数学二次函数知识点总结,希望能对大家有所帮助。

i.定义与定义表达式

一般地,自变量_和因变量y之间存在如下关系:y=a_^2+b_+c

(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>;0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,iai还可以决定开口大小,iai越大开口就越小,iai越小开口就越大.)则称y为_的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

ii.二次函数的三种表达式

一般式:y=a_^2+b_+c(a,b,c为常数,a≠0)

顶点式:y=a(_-h)^2+k[抛物线的顶点p(h,k)]

交点式:y=a(_-_₁)(_-_₂)[仅限于与_轴有交点a(_₁,0)和b(_₂,0)的抛物线]

注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:

h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a _₁,_₂=(-b±√b^2-4ac)/2a

iii.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=_^2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。

iv.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线_=-b/2a。

对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点p。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线_=0)

2.抛物线有一个顶点p,坐标为:p(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时,p在y轴上;当δ=b^2-4ac=0时,p在_轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;

当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0,c)

6.抛物线与_轴交点个数

δ=b^2-4ac>0时,抛物线与_轴有2个交点。

δ=b^2-4ac=0时,抛物线与_轴有1个交点。

δ=b^2-4ac<0时,抛物线与_轴没有交点。

_的取值是虚数(_=-b±√b^2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)

v.二次函数与一元二次方程

特别地,二次函数(以下称函数)y=a_^2+b_+c,

当y=0时,二次函数为关于_的一元二次方程(以下称方程),即a_^2+b_+c=0

此时,函数图像与_轴有无交点即方程有无实数根。函数与_轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=a_^2,y=a(_-h)^2,y=a(_-h)^2+k,y=a_^2+b_+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:

当h>;0时,y=a(_-h)^2的图象可由抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位得到,

当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.

当h>;0,k>;0时,将抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(_-h)^2+k的图象;

当h>;0,k<0时,将抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象;

当h<0,k>;0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象;

当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象;

因此,研究抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(_-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

2.抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0)的图象:当a>;0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线_=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).

3.抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0),若a>;0,当_≤-b/2a时,y随_的增大而减小;当_≥-b/2a时,y随_的增大而增大.若a<0,当_≤-b/2a时,y随_的增大而增大;当_≥-b/2a时,y随_的增大而减小.

4.抛物线y=a_^2+b_+c的图象与坐标轴的交点:

(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);

(2)当△=b^2-4ac>;0,图象与_轴交于两点a(_₁,0)和b(_₂,0),其中的_1,_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0

(a≠0)的两根.这两点间的距离ab=|_₂-_₁|

当△=0.图象与_轴只有一个交点;

当△<0.图象与_轴没有交点.当a>;0时,图象落在_轴的上方,_为任何实数时,都有y>;0;当a<0时,图象落在_轴的下方,_为任何实数时,都有y<0.

5.抛物线y=a_^2+b_+c的最值:如果a>;0(a<0),则当_=-b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.

6.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知_、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:

y=a_^2+b_+c(a≠0).

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(_-h)^2+k(a≠0).

(3)当题给条件为已知图象与_轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(_-_₁)(_-_₂)(a≠0).

7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.

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