线性代数总结（三篇）

【第1篇 2023年考研数学线性代数四大考点总结

在考研数学考试中关于线性代数的部分里，有关矩阵的秩、特征值与特征向量、线性方程组求解和二次型标准化与正定判断这四大考点，是大家一定要复习好的内容。

线性代数占考研数学总分值的22%，约34分，以2个选择题、1个填空题、2个解答题的形式出现。虽然线性代数的考点众多，但要把这5个题目的分值完全收入囊中，则需要进行重点题型重点突破。

▶矩阵的秩

矩阵是解决线性方程组的解的有力工具，矩阵也是化简二次型的方便工具。矩阵理论是线性代数的重点内容，熟悉掌握了矩阵的相关性质与内容，利用其来解决实际应用问题就变得简单易行。正因为矩阵理论在整个线性代数中的重要作用，使它变为考试考查的重点。矩阵由那么多元素组成，每一个元素都在扮演不同的角色，其中的核心或主角是它的秩!

通过几十年考研考试命题，命题老师对题目的形式在不断地完善，这也要求大家深入理解概念，灵活处理理论之间的关系，能变通地解答题目。例如对矩阵秩的理解，对矩阵的秩与向量组的秩之间的关系的理解，对矩阵等价与向量组等价之间区别的理解，对矩阵的秩与方程组的解之间关系的掌握，对含参数的矩阵的处理以及反问题的解决能力等，都需要在对概念理解的基础上，联系地看问题，及时总结结论。

▶矩阵的特征值与特征向量

矩阵的特征值与特征向量在将矩阵对角化过程中起着决定作用，也是将二次型标准化、规范化的便捷方式，故特征值与特征向量也是考查重点。对于特征值与特征向量，须理清其相互关系，也须能根据一些矩阵的特殊性求得其特征值与特征向量(例如根据矩阵各行元素之和为3能够判断3是其一个特征值，元素均为1的列向量是其对应的特征向量)，会处理含参数的情况。

▶线性方程组求解

对线性方程组的求解总是通过矩阵来处理，含参数的方程组是考查的重点，对方程组解的结构及有解的条件须熟悉。例如2023年第20题(数学二为22题)，已知三元非齐次线性方程组存在2个不同的解，求其中的参数并求方程组的通解。此题的关键是确定参数!而所有信息完全隐含在'a_=b存在2个不同的解'这句话中。由此可以得到齐次方程组有非0解，系数矩阵降秩，行列式为0，可求得矩阵中的参数;非齐次方程组有解故系数矩阵与增广矩阵同秩可确定参数及b中的参数。至于确定参数后再求解非齐次方程组就变得非常简单了。

▶二次型标准化与正定判断

二次型的标准化与矩阵对角化紧密相连，即与矩阵的特征值与特征向量紧密联系。这里需要掌握一些处理含参数矩阵的方法以便运算中节省时间。正定二次型有很优秀的性质，但毕竟这是一类特殊矩阵，判断一个矩阵是否属于这个特殊类，可以使用正定矩阵的几个充要条件，例如二次型矩阵的特征值是否全大于0，顺序主子式是否均大于0等，但前者更常用一些。

【第2篇 线性代数的知识点总结

第一章、行列式

知识点1：行列式、逆序数

知识点2：余子式、代数余子式

知识点3：行列式的性质

知识点4：行列式按一行（列）展开公式

知识点5：计算行列式的方法

知识点6：克拉默法则

第二章、矩阵

知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律

知识点8：矩阵的乘法运算及运算律

知识点9：计算方阵的幂

知识点10：转置矩阵及运算律

知识点11：伴随矩阵及其性质

知识点12：逆矩阵及运算律

知识点13：矩阵可逆的判断

知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算

知识点15：矩阵方程的求解

知识点16：初等变换的概念及其应用

知识点17：初等方阵的概念

知识点18：初等变换与初等方阵的关系

知识点19：等价矩阵的概念与判断

知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式

知识点21：矩阵的秩的概念与判断

知识点22：矩阵的秩的性质与定理

知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算

知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例

第三章、向量

知识点25：向量的概念及运算

知识点26：向量的线性组合与线性表示

知识点27：向量组之间的线性表示及等价

知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念

知识点29：线性表示与线性相关性的关系

知识点30：线性相关性的判别法

知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的.秩的概念

知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系

知识点33：求向量组的最大无关组

知识点34：有关向量组的定理的综合运用

知识点35：内积的概念及性质

知识点36：正交向量组、正交阵及其性质

知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法

知识点38：向量空间（数一）

知识点39：基变换与过渡矩阵（数一）

知识点40：基变换下的坐标变换（数一）

第四章、线性方程组

知识点41：齐次线性方程组解的性质与结构

知识点42：非齐次方程组解的性质及结构

知识点43：非齐次线性线性方程组解的各种情形

知识点44：用初等行变换求解线性方程组

知识点45：线性方程组的公共解、同解

知识点46：方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系

知识点47：方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例

第五章、矩阵的特征值与特征向量

知识点48：特征值与特征向量的概念与性质

知识点49：特征值和特征向量的求解

知识点50：相似矩阵的概念及性质

知识点51：矩阵的相似对角化

知识点52：实对称矩阵的相似对角化.

知识点53：利用相似对角化求矩阵和矩阵的幂

第六章、二次型

知识点54：二次型及其矩阵表示

知识点55：矩阵的合同

知识点56 : 矩阵的等价、相似与合同的关系

知识点57：二次型的标准形

知识点58：用正交变换化二次型为标准形

知识点59：用配方法化二次型为标准形

知识点60：正定二次型的概念及判断

【第3篇 2023考研数学线性代数知识点总结

导语在决定考研后，同学们要做的事情就是了解考试科目的知识点内容，做到知己知彼，这样才能够掌握考试，取得好的成绩，考研数学也是如此。为大家整理了一些线性代数的知识点，分享给备考的同学们。

行列式

1、行列式本质——就是一个数

2、行列式概念、逆序数

考研：小题，无法联系其他知识点，当场解决。

3、二阶、三阶行列式具体性计算

考研：不会单独出题，常常结合伴随矩阵、可逆矩阵考察。

4、余子式和代数余子式

考研：代数余子式的正负是一个易错点，了解代数余子式才能学习行列式展开定理。

5、行列式展开定理

考研：核心知识点，必考!

6、行列式性质

考研：核心知识点，必考!小题为主。

7、行列式计算的几个题型

①、划三角(正三角、倒三角)

②、各项均加到第一列(行)

③、逐项相加

④、分块矩阵

⑤、找公因

这样做的目的，在行/列消出一个0，方便运用行列式展开定理。

考研：经常运用在找特征值中。

⑥数学归纳法

⑦范德蒙行列式

⑧代数余子式求和

⑨构造新的代数余子式

8、抽象型行列式(矩阵行列式)

①转置

②k倍

③可逆

③伴随

④题型丨a+b丨;丨a+b-1丨;丨a-1+b丨型

(这部分内容放在第二章，但属于第一章的内容)

考研：出小题概率非常大，抽象性行列式与行列式性质结合考察。

矩阵

1、矩阵性质

考研：与伴随矩阵、可逆矩阵、初等矩阵结合考察。

2、数字型n阶矩阵运算

①方法一：秩是1

②方法二：含对角线上下三角为0的矩阵

③方法三：利用二项式定理，拆写成e+b型

④方法四：利用分块矩阵

⑤方法五：p-1ap=b;p-1app-1ap=b2

方法五涉及相似对角化知识。

方法三涉及高中知识。

考研：常见在大题出现，是大题的第一问!看到数字型n阶矩阵运算，一定出自这5个方法。

3、伴随矩阵

考研：伴随矩阵常与其他知识考察，与行列式、转置、k倍、可逆、伴随的伴随结合考察。

4、二阶矩阵的伴随矩阵

法则：主对角线互换、副对角线填负号。

考研：如果让求某个二阶矩阵的可逆矩阵，难点转化成如何计算它的伴随矩阵。

5、可逆矩阵两种求法

考研：可逆矩阵可与行列式、转置、k倍、伴随矩阵、可逆的可逆结合考察。

6、分块矩阵

考研：以小题出现

7、初等矩阵

考研：小题出现

8、正交矩阵、对称矩阵、反对称矩阵

考研：第二章先知道张什么模样，这部分内容在二次型、相似对角化考察。

9、秩(十个公式)

考研：把秩比作答题的第二种方法，在解决向量、方程组等相关知识点，可以用传统方法(解题速度慢)，也可用秩，解题速度是传统方法的5倍!但是难懂。

向量

1、几组定义(向量内积、向量的长度、单位化、正交)

考研：考单位化，但是如果想理解线性代数本质，向量内积、向量的长度要懂。

2、线性相关、无关的三大判别方法

⑴、利用行列式

⑵、向量个数>;维度，必相关

⑶、利用秩

考研：小题出现，很少结合其他章节知识点。

3、线性相关无关证明题三种思路

⑴、利用定义法

⑵、用秩

⑶、反证法

考研：大题考点，这部分内容可以与线性方程组结合，也可以与特征值特征向量结合，也可以与秩结合。至于如何结合，怎么结合，请自己归纳总结。

4、线性表出四大判别方法

⑴、利用行列式

⑵、利用秩

⑶、利用定义

⑷、利用方程组

考研：可小题、可大题，但是通是大题的某一问。

5、克拉默法则

考研：服务线性表出。

6、线性表出计算题三大思路

⑴、利用克拉默法则

⑵、构建方程组，抓0思想

⑶、与向量组结合考等价。

考研：大题考点!涉及部分方程组知识和初等行变换知识。

这部分内容涉及重要的数学思想：分类讨论!!!(大题爱考)

7、线性表出证明题四个理论

考研：大题小题都有，但是近几年小题居多。

8、极大线性无关组

考研：核心考点内容和2、3知识点一样，换汤不换药

9、等价向量组

考研：小题居多，很少与其它章节知识点结合。

线性方程组

1、基础解系

(不懂就背下来，我当时考研到10月份才茅塞顿开。)

2、齐次线性方程组与非齐次线性方程组

⑴、常规求解

⑵、解含参数的方程组

(这部分内容最难在于化简，矩阵基础要牢固!!)

⑶、利用解的三个性质

⑷、通过矩阵运算，构造方程组再求解

考研：大题核心考点，历年考题向量和方程组会出其中一道，而方程组的出题概率高于向量!原因如下

①、解题方法多。

②、能与矩阵相关知识联系结合。

3、公共解、同解两种题型

考研：重要考点题!

特征值与特征向量

1、特征值相关概念与计算

考研：必考题，这里面难点不在于特征值相关知识，而在于求解行列式相关知识。

2、特殊特征值

⑴、上三角矩阵、下三角矩阵。

⑵、秩为1的矩阵

⑶、某个矩阵拆分后，利用⑴和⑵结合。

3、相似矩阵概念及性质

考研：不会单独出，但一定会结合其他题目

4、相似矩阵两种考题

如果p-1ap=b

⑴若aλ=λa→b(p-1a)=λ(p-1a)

⑵若ba=λa→a(pa)=λ(pa)

考研：这部分内容是内容5的基础，但是如果单独出考题，不太可能。

5、对角矩阵的相似问题

核心内容：“搭桥”桥是λ。

考研：核心重点考点!

本内容需要分类讨论、需要基础解系相关知识、又可以联系特征值、特征向量，性质方面也可全面考察。

6、反对称矩阵

考研：小题

7、实对称矩阵以及正交矩阵

考研：也是重要考点，大部分知识和前面一样，不同之处在于多一个史密斯正交化。

二次型

1、二次型相关概念

内容和微分方程有异曲同工之妙，记忆的内容比较多，但比较简单。

考研：出小题，比如填写一个负惯性指数。

2、矩阵的等价、相似、合同

考研：出小题，一定不可能出大题的。

3、化二次型为标准型、正定问题

考研：核心重点考点，内容本身没什么难度，只是把前面所有的知识综合起来。