二次函数知识总结（七篇）

【第1篇 初中数学二次函数知识点总结

I.定义与定义表达式

一般地，自变量_和因变量y之间存在如下关系：y=a_^2+b_+c

(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为_的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=a_^2+b_+c(a，b，c为常数，a≠0)

顶点式：y=a(_-h)^2+k [抛物线的顶点P(h，k)]

交点式：y=a(_-_?)(_-_ ?) [仅限于与_轴有交点A(_? ，0)和 B(_?，0)的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a _?,_?=(-b±√b^2-4ac)/2a

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=_^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 _ = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线_=0)

2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时，P在_轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;

当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)

6.抛物线与_轴交点个数

Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与_轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与_轴有1个交点。

Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与_轴没有交点。X的取值是虚数(_= -b±√b^2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数(以下称函数)y=a_^2+b_+c，

当y=0时，二次函数为关于_的一元二次方程(以下称方程)，即a_^2+b_+c=0

此时，函数图像与_轴有无交点即方程有无实数根。函数与_轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=a_^2，y=a(_-h)^2，y=a(_-h)^2 +k，y=a_^2+b_+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴：

当h>0时，y=a(_-h)^2的图象可由抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位得到，

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到.

当h>0,k>0时，将抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(_-h)^2 +k的图象;

当h>0,k<0时，将抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象;

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象;

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象;

因此，研究抛物线 y=a_^2+b_+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(_-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

2.抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线_=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).

3.抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0)，若a>0，当_ ≤ -b/2a时，y随_的增大而减小;当_ ≥ -b/2a时，y随_的增大而增大.若a<0，当_ ≤ -b/2a时，y随_的增大而增大;当_ ≥ -b/2a时，y随_的增大而减小.

4.抛物线y=a_^2+b_+c的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);

(2)当△=b^2-4ac>0，图象与_轴交于两点A(_?，0)和B(_?，0)，其中的_1,_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0

(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|_?-_?|

当△=0.图象与_轴只有一个交点;

当△<0.图象与_轴没有交点.当a>0时，图象落在_轴的上方，_为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在_轴的下方，_为任何实数时，都有y<0.

5.抛物线y=a_^2+b_+c的最值：如果a>0(a<0)，则当_= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值

6.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知_、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=a_^2+b_+c(a≠0).

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(_-h)^2+k(a≠0).

(3)当题给条件为已知图象与_轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(_-_?)(_-_?)(a≠0).

7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.

【第2篇 高中二次函数知识点总结

高中二次函数知识点总结

数学的学习是必要的，为了帮助大家更好的学习数学，下面是高中二次函数知识点总结，欢迎查阅！

一、二次函数概念：

1.二次函数的概念：一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.

2. 二次函数的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2.

⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项.

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：的性质：

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

向上轴时，随的增大而增大;时，随的增大而减小;时，有最小值.

向下轴时，随的增大而减小;时，随的增大而增大;时，有最大值.

2. 的性质：

上加下减。

的`符号开口方向顶点坐标对称轴性质

向上轴时，随的增大而增大;时，随的增大而减小;时，有最小值.

向下轴时，随的增大而减小;时，随的增大而增大;时，有最大值.

3. 的性质：

左加右减。

的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

向上_=h时，随的增大而增大;时，随的增大而减小;时，有最小值.

向下_=h时，随的增大而减小;时，随的增大而增大;时，有最大值.

4. 的性质：

的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

向上_=h时，随的增大而增大;时，随的增大而减小;时，有最小值.

向下_=h时，随的增大而减小;时，随的增大而增大;时，有最大值.

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标;

⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2. 平移规律

在原有函数的基础上“值正右移，负左移;值正上移，负下移”.

概括成八个字“左加右减，上加下减”.

方法二：

⑴沿轴平移:向上(下)平移个单位，变成

(或)

⑵沿轴平移：向左(右)平移个单位，变成(或)

四、二次函数与的比较

从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中.

五、二次函数图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，(若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

六、二次函数的性质

1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为.

当时，随的增大而减小;当时，随的增大而增大;当时，有最小值.

【第3篇 高一数学二次函数知识点总结

高一数学二次函数知识点总结

i.定义与定义表达式

一般地，自变量_和因变量y之间存在如下关系：

y=a_^2+b_+c

(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>;0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，iai还可以决定开口大小，iai越大开口就越小，iai越小开口就越大.)

则称y为_的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

ii.二次函数的三种表达式

一般式：y=a_^2+b_+c(a，b，c为常数，a≠0)

顶点式：y=a(_-h)^2+k[抛物线的顶点p(h，k)]

交点式：y=a(_-_?)(_-_?)[仅限于与_轴有交点a(_?，0)和b(_?，0)的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4a_?，_?=(-b±√b^2-4ac)/2a

iii.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=_^2的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

iv.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

_=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点p。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线_=0)

2.抛物线有一个顶点p，坐标为

p(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)

当-b/2a=0时，p在y轴上;当δ=b^2-4ac=0时，p在_轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>;0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

a越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>;0)，对称轴在y轴左;

当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)

6.抛物线与_轴交点个数

δ=b^2-4ac>;0时，抛物线与_轴有2个交点。

δ=b^2-4ac=0时，抛物线与_轴有1个交点。

δ=b^2-4ac<0时，抛物线与_轴没有交点。_的取值是虚数(_=-b±√b^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)

v.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数(以下称函数)y=a_^2+b_+c，

当y=0时，二次函数为关于_的一元二次方程(以下称方程)，

即a_^2+b_+c=0

此时，函数图像与_轴有无交点即方程有无实数根。

函数与_轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=a_^2，y=a(_-h)^2，y=a(_-h)^2+k，y=a_^2+b_+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式

顶点坐标

对称轴

y=a_^2

(0，0)

_=0

y=a(_-h)^2

(h，0)

_=h

y=a(_-h)^2+k

(h，k)

_=h

y=a_^2+b_+c

(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)

_=-b/2a

当h>;0时，y=a(_-h)^2的图象可由抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位得到，

当h<0时，则向左平行移动h个单位得到.

当h>;0，k>;0时，将抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(_-h)^2+k的图象;

当h>;0，k<0时，将抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位，再向下移动k个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象;

当h<0，k>;0时，将抛物线向左平行移动h个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象;

当h<0，k<0时，将抛物线向左平行移动h个单位，再向下移动k个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象;

因此，研究抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(_-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

2.抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0)的图象：当a>;0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线_=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).

3.抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0)，若a>;0，当_≤-b/2a时，y随_的增大而减小;当_≥-b/2a时，y随_的增大而增大.若a<0，当_≤-b/2a时，y随_的.增大而增大;当_≥-b/2a时，y随_的增大而减小.

4.抛物线y=a_^2+b_+c的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);

(2)当△=b^2-4ac>;0，图象与_轴交于两点a(_?，0)和b(_?，0)，其中的_1，_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0

(a≠0)的两根.这两点间的距离ab=_?-_?

当△=0.图象与_轴只有一个交点;

当△<0.图象与_轴没有交点.当a>;0时，图象落在_轴的上方，_为任何实数时，都有y>;0;当a<0时，图象落在_轴的下方，_为任何实数时，都有y<0.

5.抛物线y=a_^2+b_+c的最值：如果a>;0(a<0)，则当_=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.

6.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知_、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=a_^2+b_+c(a≠0).

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(_-h)^2+k(a≠0).

(3)当题给条件为已知图象与_轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(_-_?)(_-_?)(a≠0).

7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.

【第4篇 二次函数知识点总结

二次函数知识点总结

二次函数及其图像

二次函数(quadraticfunction)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(_)=a_^2b_c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般的，自变量_和因变量y之间存在如下关系：

一般式

y=a_∧2;b_c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a);

顶点式

y=a(_m)∧2k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(_-h)∧2k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为_=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=a_∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;

交点式

y=a(_-_1)(_-_2)[仅限于与_轴有交点a(_1，0)和b(_2，0)的抛物线];

重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>;0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)

y=(y3(_-_1)(_-_2))/((_3-_1)(_3-_2)(y2(_-_1)(_-_3))/((_2-_1)(_2-_3)(y1(_-_2)(_-_3))/((_1-_2)(_1-_3)。由此可引导出交点式的系数a=y1/(_1__2)(y1为截距)

求根公式

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

_是自变量，y是_的二次函数

_1,_2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a

(即一元二次方程求根公式)

求根的方法还有因式分解法和配方法

在平面直角坐标系中作出二次函数y=2_的平方的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

不同的二次函数图像

如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。

注意：草图要有1本身图像，旁边注明函数。

2画出对称轴，并注明_=什么

3与_轴交点坐标，与y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的性质

轴对称

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线_=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点p。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线_=0)

顶点

2.抛物线有一个顶点p，坐标为p(-b/2a，4ac-b^2;)/4a)

当-b/2a=0时，p在y轴上;当δ=b^2;-4ac=0时，p在_轴上。

开口

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>;0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

决定对称轴位置的'因素

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>;0)，对称轴在y轴左;因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号

当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b 2a=''>;0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab>;0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。

事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

决定抛物线与y轴交点的因素

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)

抛物线与_轴交点个数

6.抛物线与_轴交点个数

δ=b^2-4ac>;0时，抛物线与_轴有2个交点。

δ=b^2-4ac=0时，抛物线与_轴有1个交点。

δ=b^2-4ac<0时，抛物线与_轴没有交点。_的取值是虚数(_=-b±√b^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)

当a>;0时，函数在_=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a;在{_|_<-b/2a}上是减函数，在

{_|_>;-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变

当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=a_^2c(a≠0)

特殊值的形式

7.特殊值的形式

①当_=1时y=abc

②当_=-1时y=a-bc

③当_=2时y=4a2bc

④当_=-2时y=4a-2bc

【第5篇 二次函数知识总结

二次函数知识总结

一、定义与定义表达式一般地，自变量_和因变量y之间存在如下关系：y=a_2+b_+c(a0)，则称y为_的二次函数。

二、二次函数的三种表达式一般式：

y=a_2+b_+c(a0)顶点式：y=a(_-h)2+k(a0)，此时抛物线的顶点坐标为p(h，k)交点式：y=a(_-_1)(_-_2)(a0)仅用于函数图像与_轴有两个交点时，_1、_2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为a(_1，0)和b(_2，0))，对称轴所在的直线为_=注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-，k=;_1,_2=;_1+_2=-

三、二次函数的图像从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。

四、抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形，对称轴为直线_=-，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点p。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线_=0)

2.抛物线有一个顶点p，坐标为p(-，)。当_=-时，y最值=，当a0时，函数y有最小值;当a0时，函数y有最大值。当-=0时，p在y轴上(即交点的横坐标为0);当=b2-4ac=0时，p在_轴上(即函数与_轴只有一个交点)。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小(即形状)。当a0时，抛物线开口向上;当a0时，抛物线开口向下。|a|越大，则抛物线的开口越小。对于两个抛物线，若形状相同，开口方向相同，则a相等;若形状相同，开口方向相反，则a互为相反数。

4.二次项系数a和一次项系数b共同决定对称轴的位置，四字口诀为“左同右异”，即：当对称轴在y轴左边时，a与b同号(即ab当对称轴在y轴右边时，a与b异号(即ab0)。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点位置，抛物线与y轴交于点(0，c)。

6.抛物线y=a_2+b_+c(a0)与_轴交点个数与方程a_2+b_+c=0的根的判定方法：=b2-4ac0时，抛物线与_轴有2个交点，对应方程有两个不相同的.实数根;=b2-4ac=0时，抛物线与_轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。=b2-4ac0时，抛物线与_轴没有交点，对应方程没有实数根。

五、二次函数与一元二次方程

二次函数(以下称函数)y=a_2+b_+c(a0)，当y=0时，二次函数为关于_的一元二次方程，即a_2+b_+c=0，此时，函数图像与_轴有无交点即方程有无实数根。函数与_轴交点的横坐标即为方程的根。(参考四-6)

六、常用的计算方法

1、求解析式的时候：若给定三个普通点的坐标，则设为一般式y=a_2+b_+c(a0)，分别将三点坐标代入组成三元一次方程组，然后解此方程组求出a、b、c，再代回设的一般式中即可求出解析式;若给定有顶点坐标或对称轴、最值，则设为顶点式y=a(_-h)2+k(a0)，再找一点坐标代入即可求出a，再代回设的顶点式即可求出解析式;若给定有与_轴的交点坐标，则设为交点式y=a(_-_1)(_-_2)(a0)，再找一点坐标代入即可求出a，再代回设的交点式即可求出解析式。以上方法特别要注意括号内的正负号。

2、若求函数与_轴的交点坐标，让y=0，解一元二次方程所得的根就是交点的横坐标;

3、若求函数的顶点坐标，用配方的方法或者直接套用顶点坐标的公式;

4、若求函数的最大值或者最小值，也可以用配方的方法或者直接套用最值的公式(同顶点坐标)。

5、当需要判定函数y=a_2+b_+c(a0)与_轴没有交点时，需判定方程a_2+b_+c=0的lt;0，同理，与_轴只有一个交点时，=0，与_轴有两个交点时，gt;0。对的判定方法仍然是用配方的方法。

【第6篇 初中奥数二次函数知识点总结

一、二次函数概念：

1.二次函数的概念：一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.

2. 二次函数的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的次数是2.

⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项.

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：的性质：

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

向上轴时，随的增大而增大;时，随的增大而减小;时，有最小值.

向下轴时，随的增大而减小;时，随的增大而增大;时，有值.

2. 的性质：

上加下减。

的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

向上轴时，随的增大而增大;时，随的增大而减小;时，有最小值.

向下轴时，随的增大而减小;时，随的增大而增大;时，有值.

3. 的性质：

左加右减。

的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

向上_=h时，随的增大而增大;时，随的增大而减小;时，有最小值.

向下_=h时，随的增大而减小;时，随的增大而增大;时，有值.

4. 的性质：

的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

向上_=h时，随的增大而增大;时，随的增大而减小;时，有最小值.

向下_=h时，随的增大而减小;时，随的增大而增大;时，有值.

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标;

⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2. 平移规律

在原有函数的基础上“值正右移，负左移;值正上移，负下移”.

概括成八个字“左加右减，上加下减”.

方法二：

⑴沿轴平移:向上(下)平移个单位，变成

(或)

⑵沿轴平移：向左(右)平移个单位，变成(或)

四、二次函数与的比较

从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中.

五、二次函数图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，(若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

六、二次函数的性质

1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为.

当时，随的增大而减小;当时，随的增大而增大;当时，有最小值.

【第7篇 中考数学二次函数知识点总结

导语有一个现象是普遍存在的，就是“学的越多感觉不会的越多，背的越多忘的越快”，这个问题困扰着很多考研党。很多时候死记硬背并不是的方法，需要找到正确的思路，灵活记忆。为同学们提供中考数学二次函数知识点总结，希望能对大家有所帮助。

i.定义与定义表达式

一般地，自变量_和因变量y之间存在如下关系：y=a_^2+b_+c

（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>;0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,iai还可以决定开口大小,iai越大开口就越小,iai越小开口就越大.）则称y为_的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

ii.二次函数的三种表达式

一般式：y=a_^2+b_+c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：y=a(_-h)^2+k[抛物线的顶点p（h，k）]

交点式：y=a(_-_₁)(_-_₂)[仅限于与_轴有交点a（_₁，0）和b（_₂，0）的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a _₁,_₂=(-b±√b^2-4ac)/2a

iii.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=_^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

iv.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线_=-b/2a。

对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点p。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线_=0）

2.抛物线有一个顶点p，坐标为：p(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，p在y轴上；当δ=b^2-4ac=0时，p在_轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与_轴交点个数

δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与_轴有2个交点。

δ=b^2-4ac=0时，抛物线与_轴有1个交点。

δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与_轴没有交点。

_的取值是虚数（_=-b±√b^2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

v.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=a_^2+b_+c，

当y=0时，二次函数为关于_的一元二次方程（以下称方程），即a_^2+b_+c=0

此时，函数图像与_轴有无交点即方程有无实数根。函数与_轴交点的横坐标即为方程的根。

1．二次函数y=a_^2，y=a(_-h)^2，y=a(_-h)^2+k，y=a_^2+b_+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

当h>;0时，y=a(_-h)^2的图象可由抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位得到，

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．

当h>;0,k>;0时，将抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(_-h)^2+k的图象；

当h>;0,k<0时，将抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象；

当h<0,k>;0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象；

因此，研究抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(_-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

2．抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0)的图象：当a>;0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线_=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．

3．抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0)，若a>;0，当_≤-b/2a时，y随_的增大而减小；当_≥-b/2a时，y随_的增大而增大．若a<0，当_≤-b/2a时，y随_的增大而增大；当_≥-b/2a时，y随_的增大而减小．

4．抛物线y=a_^2+b_+c的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

(2)当△=b^2-4ac>;0，图象与_轴交于两点a(_₁，0)和b(_₂，0)，其中的_1,_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0

(a≠0)的两根．这两点间的距离ab=|_₂-_₁|

当△=0．图象与_轴只有一个交点；

当△<0．图象与_轴没有交点．当a>;0时，图象落在_轴的上方，_为任何实数时，都有y>;0；当a<0时，图象落在_轴的下方，_为任何实数时，都有y<0．

5．抛物线y=a_^2+b_+c的最值：如果a>;0(a<0)，则当_=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

6．用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知_、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=a_^2+b_+c(a≠0)．

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(_-h)^2+k(a≠0)．

(3)当题给条件为已知图象与_轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(_-_₁)(_-_₂)(a≠0)．

7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．